ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ

ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ - розділ математичної логіки, що являє собою певне розширення логіки висловлювань. На відміну від логіки висловлювань, де висловлювання розглядають як єдине ціле, в Л. п. береться до уваги їхня суб'єктнопредикативна структура.

ПРЕДИКАТ ( від лат. praedicatum - сказане) - в традиційній логіці один з двох термінів судження, а саме той, в якому йдеться про предмет мови (суб'єкт). В математичній логіці П. часто розуміють як логічну (предикатну) функцію, тобто як функцію, що визначена на якійсь предметній області і значеннями якої є істиннісні значення. Предикатні функції подаються висловлювальними формами, тобто виразами, які містять одну або кільїса вільних змінних і стають висловлюваннями при підстановці замість змінних об'єктів певних фіксованих сукупностей. Предикатні функції від однієї змінної (позначають Р (х)) часто називають властивостями або одномісними Π. (П. в традиційному розумінні), а предикатні функції від л-змінних (записують Р(х, х„) - відношеннями або л-місними П. Поняття "П." є одне з основних у сучасній логіці. Логіка бінарних П. має особливе значення і оформлюється в особливу теорію - логіку відношень, яка є базовою для теорії графів.

ЛОГІЧНІ ЧИСЛЕННЯ - формалізовані дедуктивні системи, подані разом з їх інтерпретацією. Традиція використовувати числення для представлення знань і вирішення задач певного виду має походження з геометрії Евкліда. Прикладами числень є диференціальне й інтегральне числення, що розроблені в працях Ньютона та Ляйбніца і становлять основу математичного аналізу. Уточнення цього поняття здійснене в логіці математичній. Загальна теорія числень побудована Гільбертом, який, до того ж, дав аксіоматичне представлення геометрії Евкліда. Першими власне Л.ч. є алгебра логіки Буля, а також числення висловлювань та поширене числення предикатів Фреге, які частково втілюють ідею Ляйбніда про універсальну мову, що формалізує будь-які міркування. Базовими Л. ч. є числення висловлювань і числення предикатів.

ЛОГІКА МАТЕМАТИЧНА - розділ логіки і математики, в якому досліджуються проблеми обґрунтування у математиці, методи доведення, розробляються засади математики (передусім - теорія множин). У Л.м. виділяють розділи - теорія доведення, теорія моделей; до неї також відносять засади математики та теорію алгоритмів (або вужче - теорію рекурсії). Ідею побудови Л.м. як формального числення для математики, а також для усіх дедуктивних наук, логіки й філософії висунув ще у XVII ст. Ляйбніц. Початок застосуванню математичної символіки для виразу формально-логічних теорій у логічних численнях поклали англ. математик і логік Буль, шотландськ. математик і логік Морган, амер. філософ і логік Пірс та ін. Основні поняття Л.м. - висловлювання, предикат, квантор, логічна операція, модель, логічне числення.

ЛОГІКИ НЕКЛАСИЧНІ - напрям сучасної формальної логіки, що вивчає логічні системи, адекватна семантична інтерпретація яких задовольняє хоча б одну із таких умов: 1) наявність більше двох допустимих значень істинності; 2) наявність таких логічних знаків s, що формула sA не є функцією істинності від А; 3) допустимість пустого універсуму (множина об'єктів інтерпретації); 4) порушення екстенційності принципу (в цьому випадку значення предиката не визначається однозначно його обсягом); 5) порушення принципу підстановки тотожного (можливості підставляти в контекст замість будь-якого імені інше, рівнозначне йому ім'я). Прикладами Л.н. є багатозначні логіки, інтуїціоністська логіка, логіки модальні (висловлювань і предикатів), логіка дій, логіка норм, оцінок.

ЛОГІКА КЛАСІВ - розділ математичної логіки, в якому елементарні висловлювання (див. логіка висловлювань) розглядаються з боку їхньої суб'єктно-предикативної структури. Кожні суб'єкт і предикат, що входять до елементарного висловлювання, ототожнюються з їхнім обсягом, тобто класом (звідси - назва об'єктів, яким вони відповідають).

ЧИСЛЕННЯ ПРЕДИКАТІВ - розділ логіки формальної, в якому логіку предикатів подано як логічне числення. За систему аксіом у Ч. п. приймають усю систему аксіом числення висловлювань, до якої додають аксіоми, що відображають специфіку логіки предикатів. За основні правила виводу, як і в численні висловлювань, в Ч. п. беруть правило відокремлення і правило підстановки з певними уточненнями. Ч. п., таким чином, можна розглядати як розширене числення висловлювань. Розрізняють вузьке Ч. п. (функціональне числення першого порядку), коли кванторами пов'язуються лише предметні змінні, і розширене Ч. п. (функціональне числення вищих порядків), коли кванторами пов'язуються змінні предикатів і змінні висловлювань.

СИНТАКСИС ЛОГІЧНИЙ - розділ теоретичної логіки, що вивчає об'єктні логічні теорії: логіку висловлювань і логіку предикатів, різні формалізовані мови тощо як знакові формальні системи. С. л. формулює правила оперування символами та побудованими з них виразами; правила добору символів та створення алфавіту формальної системи; правила поєднання символів між собою і створення формул, виділення множини правильно побудованих формул; правила упорядкування формул і побудови формальних систем шляхом виведення одних формул з інших, що подається у вигляді знакових перетворень над записами. Такі формальні системи часто називають логістичними системами. С. л. займається лише комбінаторними властивостями символів безвідносно до їхнього смислу С. мислова інтерпретація логістичних систем вивчається в логічній семантиці Л. огістичні системи виступають знаряддям перебудови змістових наукових теорій у математиці, мовознавстві, кібернетиці тощо при розв'язанні проблеми їх обґрунтування.

ФОРМА ЛОГІЧНА - структура, яка утворюється в результаті заміни всіх складових частин мовного виразу змінними, що належать до різних семантичних категорій. Напр., якщо у реченні "Дерево є зеленим" замінити слово "дерево" предметною змінною х, "зеленим" - предикативною змінною Р (див. предикат), а "є" - певним способом зв'язку або запису, то одержимо Ф. л., що має вигляд Р(х) Ф. ормальна логіка розглядає як Ф. л. форми мислення, формалізовані мови, формальні теорії тощо (див. формалізація).

Хінтікка, Яаакко (1929, Вантамаа, Фінляндія) - фінськ. логік і філософ Ф. ілософську освіту отримав у Гельсінському ун-ті. В 1953 р. захистив докт. дис В. 1954 - 1964 рр. працював у Гарвардському та Гельсінському ун-тах, од 1964 р. - у Стенфордському ун-ті та Академії наук Фінляндії. Од 1968 р. - проф. ун-ту Флориди у м. Таллахассі. Наукова діяльність X. розпочалася з розробки концепції модельних множин, яка виявилася дуже ефективною для побудови доведень повноти логічних систем. У наш час модельні множини X. застосовуються з цією метою не тільки в царині класичної, а й некласичної логік. На базі цього поняття X. побудував спочатку семантику для логіки висловлювань і логіки предикатів, а потім семантику для модальної логіки. Окрім цього, вчений запропонував цікаве застосування модельних множин для дослідження вітгенштайнівської "образної теорії мови" і кантівської філософії. Другою значною роботою X. стала його теорія дистрибутивних нормальних форм, які він розглядав як узагальнення поняття довершеної нормальної форми. Ця теорія отримала важливе логічне та філософське застосування. На її основі X. розробив концепцію глибинної та поверхневої інформації, на базі якої запропонував оригінальне вирішення проблеми співвідношення аналітичного та синтетичного у людському пізнанні Р. езультати своїх досліджень з цієї проблематики X. застосував як для аргументованої критики логічного позитивізму, так і для аналізу філософських поглядів багатьох мислителів минулого. Важливим внеском X. у розвиток сучасної логіки стала побудована ним теоретикоігрова семантика, в основу якої покладена ідея активного характеру людського пізнання. За X., процес пізнання ґрунтується на взаємодії суб'єкта і реальності і являє собою своєрідну гру суб'єкта з природою; на базі теоретико-ігрової семантики було запропоноване нове трактування логічних кванторів. X., поряд з Кангером і Крипке, був одним із перших, хто заклав основи семантики можливих світів. Втім, концепція можливих світів X. в ряді пунктів відрізняється від стандартної, запропонованої Крипке. Якщо останній виходить з ляйбніцівського трактування співвідношення можливого і реального, то X. бере за основу точку зору Канта. На його думку, поняття реального є більш фундаментальним, ніж поняття можливого, що являє собою лише перекомбінацію існуючого у мисленні. В роботах X. можливі світи незрідка розглядаються як "можливі напрями розвитку подій". Це насамперед пов'язано з його інтересом до епістемічної інтерпретації модальностей, з особливим трактуванням кванторів в модальних та інтенсіональних контекстах, з подоланням труднощів, пов'язаних з побудовою алетичної логіки. X. був одним із перших, хто систематично почав розробляти епістемічну логіку. Класичним доробком у цій галузі є його праця "Знання і віра".

[br]

Осн. тв.: "Дистрибутивні нормальні форми у численні предикатів" (1953); "Дві статті із символічної логіки" (1955); "Знання і віра" (1962); "Моделі для модальностей" (1969); "Логіка, мовні ігри та інформація" (1973); "Час і необхідність" (1973); "Метод аналізу" (1974).

АНАЛІТИЧНІ і СИНТЕТИЧНІ СУДЖЕННЯ - класи суджень, які відрізняються один від одного способом встановлення їх істинності: істинність аналітичних суджень встановлюється за допомогою суто логічного аналізу термінів, які входять в судження; істинність синтетичних суджень встановлюється шляхом звернення до позалогічних міркувань, зокрема, до емпіричного досвіду. Поділ на А. і С. с. сягає своїми витоками філософії Ляйбніца, який виділяє два види істин - "істини розуму" та "істини факту". Для перевірки "істин розуму" достатньо закону суперечності; для перевірки "істин факту" необхідно також застосування закону достатньої підстави. Самі терміни "А. і С. с." введені Кантом, який дав їх чітке формулювання, пов'язавши з поняттями апріорі та апостеріорі. За Кантом, аналітичні судження - це судження апріорі, оскільки у них логічний предикат міститься у логічному суб'єкті. Синтетичні судження можуть бути як апріорними, так і апостеріорними. Синтетичні апостеріорні судження - судження, в яких знання про суб'єкт розширюються шляхом звернення до досвіду. Поряд з синтетичними апостеріорними судженнями Кант виділяє особливий клас суджень - синтетичні апріорні судження, які не залежать від досвіду, але разом з тим логічний предикат не міститься у логічному суб'єкті. Саме ці судження - типу "все, що відбувається, має свою причину", - є, за Кантом, особливими принципами теоретичних наук, які обумовлюють саму їх можливість. Проблема А. і С. с. набула особливої гостроти у 20-ті рр. у філософії неопозитивізму, прихильники якого вважають А. і С. с. взаємовиключаючими класами "речень мови науки". Аналітичні судження мають конвенційну природу, оскільки не містять ніякої інформації про навколишній світ, а встановлення їх істинності ґрунтується на довільно встановлених правилах мови. Синтетичні судження тлумачаться неопозитивізмом як змістові твердження про світ, істинність яких встановлюється в межах певного "мовного каркасу" шляхом звернення до емпіричних фактів за допомогою процедури верифікації. Такого розуміння А. і С. с. дотримуються Шлік, Франк, Нейрат та Карнап. Останній зробив великий внесок у розробку неопозитивістської програми - піддати все наявне знання критичному аналізу з позицій вимог принципу верифікації, згідно з яким будь-яке науково осмислене твердження може бути зведене до сукупності протокольних речень, які фіксують дані чистого досвіду, та створити універсальну мову науки. Проте уже в 50-ті рр. неопозитивістська програма розрізнення А. і С. с. зазнала краху, оскільки виявилась неможливість повною мірою формалізувати мову науки А. мер. філософ Куайн, який на початку своєї творчості поділяв точку зору неопозитивізму на А. і С. с., згодом обґрунтував неможливість чіткого розрізнення цих двох видів суджень. Куайн наполягав на тому, що хоча аналітичні судження і можна організувати у строгі системи (математика, логіка), але вони не відносяться до чіткої логіки. Так, аналітичне судження "кожний холостяк є нежонатим" не збігається з чисто логічним судженням "кожне х є х", оскільки істинність останнього обумовлена тим, що х нічого не означає, в той час як істинність першого залежить від значення термінів, які в нього входять. А значення термінів встановлюється в межах певної онтології, перевага якої визначається прагматичними мотивами. Таким чином Куайн переосмислив проблему А. і С. с. з точки зору прагматизму і запропонував її вирішення як своєрідний синтез прагматизму, сучасної логіки і аналітичної філософії.

КВАНТИФІКАЦІЯ ( від лат. quantum - скільки; facio - роблю) - 1) Логічна операція, що дає можливість шляхом певної перебудови структури висловлювання вказати предметну область, у межах якої дане висловлювання може бути істинним або хибним. Операція К. полягає в тому, що висловлювання розчленовують на суб'єкт і предикат, що виступають як логічна функція від предметної змінної; потім вводять у структуру висловлювання квантори, визначають, чи є висловлювання істинним (або хибним) для всіх значень змінної чи лише для частини їх. К. застосовують при переході від аналізу висловлювання як нерозчленованого цілого до аналізу його внутрішньої структури. В формальній логіці це має місце при переході від алгебри висловлювань до логіки предикатів. 2) Кількісне вираження якісних ознак.

Фреге, Готлоб (1848, Веймар - 1925) - нім. логік, філософ, математик. Закінчив Ієнський ун-т (1869); у 1879 - 1918 рр. - проф. математики цього ун-ту Н. аукові дослідження Ф. тісно пов'язані з його логістичною доктриною ("логіцизмом"). Ф. дійшов висновку, що подолати кризу в математиці, яка зиникла наприкін. XIX ст., можливо шляхом зведення математичного знання до логічного. На його думку, існує невелика кількість законів чистого мислення, з яких можна вивести всі істини арифметики Д. ля обґрунтування своєї точки зору він запропонував метод формалізації дедуктивних систем. Ф. заклав підвалини теорії математичного доведення, вперше здійснив дедуктивно-аксіоматичну побудову першопорядкової логіки предикатів за допомогою формалізованої мови, провів чітке розрізнення між її синтаксисом та семантикою, формалізував значну частину арифметики натуральних чисел. Ф. запровадив науковий обіг поняття "істиннісне значення" та "логічна функція", провів розрізнення властивостей та відношень як відповідно одномісних, так і багатомісних функцій, дав визначення відношення належності елемента класу і включення класу до класу, вперше став використовувати квантори. Ф. є засновником тієї частини логічної семантики, де розглядаються відношення між предметами та смисловими значеннями мовних виразів та відношення іменування. Надбанням Ф. є також широке використання принципу абстракції і детальний аналіз взаємозв'язків між предметами, властивостями та відношеннями. Намагаючись реалізувати логістичну доктрину, Ф. повністю подолав психологізм у логіці. Піддав критиці перший том "Філософії арифметики" (1894) Гуссерля, після чого той змінив свою точку зору і став послідовним антипсихологістом. Результати, досягнуті Ф. в царині логіки, мали значний вплив на розвиток філософської думки в цілому В. они сприяли формуванню нового концептуального підходу до аналізу різноманітної проблематики, який у подальшому став основою сучасної аналітичної філософії.

[br]

Осн. тв.: "Шрифт понять" (1879); "Основи арифметики. Логіко-математичне поняття числа" (1884); "Основні закони арифметики, виведені відповідно до шрифту понять". У 2 т. (1893, 1903).

Гільберт, Давід (1862, Велау, поблизу Кенігсберга - 1943) - нім. математик і логік. Навчався у Кенігсберзькому ун-ті, після закінчення якого захистив докт. дис. (1884). Проф. Кенігсберзького та Геттингенського ун-тів. У 1899 р. були опубліковані знамениті лекції Г. "Основи геометрії", в яких геометрія Евкліда вперше була представлена у вигляді строго побудованої аксіоматичної теорії. Г. належить фундаментальна програма обґрунтування математики, яка в основному була ним сформульована до 1922 р. і детально потому розгорнута у двох томах "Основ математики". Головним об'єктом дослідження в цій праці є математичне доведення. Г. мав намір здійснити свою програму в два етапи. На першому етапі уся математика мала бути повністю формалізована, тобто представлена у вигляді формальної системи, із аксіом якої можна було б вивести основи математичного знання. Другий етап стосувався обґрунтування несуперечливості цієї формальної системи. Математичні доведення Г. пропонував досліджувати за допомогою засобів метаматематики, наполягаючи при цьому на фінітності її методів. Хоча теореми Геделя про неповноту та несуперечливість показали принципову нездійсненність задумів Г., проте вся подальша робота логіків та математиків над логічними основами математичного знання спиралася на вчення Г. про метаматематику. Розробляючи її проблематику, Г. та його послідовники зробили великий внесок в становлення сучасної логіки, зокрема, класичної логіки висловлювань та логіки предикатів.

[br]

Осн. тв.: "Основи геометрії" (1899); "Головні особливості теоретичної логіки" (1928); "Основи математики", у співавт. В 2 т. (1934, 1939) та ін.

КВАНТОРИ ( від лат. quantum - скільки) - логічні оператори, які вказують на "кількість" індивідів ("всі" або "деякі"), що відповідають певній умові. Розрізняють К. загальності - V ("всі..., такі що..."), К. існування - 3 ("деякі..., що...", "існує..., такий що..."). Різні співвідношення між К. загальності та існування і логічними зв'язками логіки висловлювань формалізуються в численні предикати (див. логіка предикатів).

ЧИСЛЕННЯ КЛАСІВ - розділ сучасної логіки, що за своїм змістом збігається з логікою класів, але відрізняється від неї за формою побудови. В системі логічних теорій Ч. к. утворюється як формальна алгебра тотожних перетворень за аналогією з булевою алгеброю (висловлювань), але як фрагмент теорії множин. Ч. к. охоплює аристотелеву силогістику, чого не можна досягти в численні висловлювань. Оскільки кожний клас можна подати через відповідний предикат, то числення класів перетворюється на фрагмент числення предикатів.

ОБ'ЄКТ ( від лат. objectus - предмет) - 1) Філософська категорія, що позначає будь-яку дійсну чи уявну, уречевлену чи ідеальну реальність у яка розглядається як щось зовнішнє у відношенні до людини та її свідомості і яка стає предметом теоретичної та практичної діяльності суб'екта. О. зазнає цілеспрямованого чи мимовільного діяння з боку суб'єкта, в результаті чого освоюється - перетворюється, пізнається, конструюється і пристосовується до потреб людини та суспільства. Особливою відмінністю О. є те, що він конституюється в процесі предметної діяльності людини. Тому будь-яка реальність актуалізується як О. лише у відношенні до суб'єкта. Актуальним О. є та частина природи, суспільства, зовнішнього та внутрішнього світу людини, яка безпосередньо чи опосередковано включається в індивідуальну чи суспільно-історичну практику. Реальність, що існує сама собою, виступає лише потенційним О. Принциповим означенням О. є те, що він незалежно від своєї матеріальної чи ментальної природи стає в опозицію до суб'єкта, що, у свою чергу, є необхідною умовою самого існування суб'єкт-об'єктного відношення. Зазнаючи діяння суб'єкта, О. протистоїть суб'єкту, чинить йому своєрідний опір і для свого освоєння вимагає відповідної затрати фізичних і розумових сил, належної організації предметної діяльності, застосування методів, що відповідають природі О., законам його розвитку та функціювання. Категорії О. і суб'єкта утворюють парну, біполярну категоріальну структуру "суб'єкт - О.", яка виражає сутність будь-якої людської діяльності. 2) О. у теорії пізнання виступає складовою пізнавального процесу, що характеризується як взаємодія О. і суб'єкта. Виділяють окремі різновиди цієї взаємодії: взаємодія О. і суб'єкта як предметних утворень, що впливають одне на одного предметним чином; взаємодія 0. й пізнавальних здатностей суб'єкта, в першу чергу відчуттів та мислення; відношення О. і засобів (методів) його освоєння; відношення О. і знання. В науковому пізнанні залежно від різновиду взаємодії і способу конституювання виокремлюють типи О.: а) За субстанційною основою та способами побудови - матеріальні О., що характеризуються уречевленістю та незалежністю від суб'єкта і його свідомості, напр., будь-яке природне тіло, що вступає в предметну взаємодію з суб'єктом; ідеалізовані О., що являють собою реально існуючі предмети і явища, реконструйовані через сукупність своїх істотних - у даному конкретному відношенні - властивостей при відволіканні від інших, напр., будь-яка модель (зокрема, планетарна модель атома), ген, геометричне тіло, ретроспективно відтворена історична подія. У цьому випадку одне й те саме природне тіло може виступати різними О., напр., вода як О. фізики і вода як О. хімії; ідеальні О., що сконструйовані через одну або декілька реальних властивостей, взятих у крайній формі свого вираження, напр., абсолютно чорне тіло, ідеальний газ, система, непрониклива для інформації. Вони в дійсності не існують, проте мають відповідний аналог у реальності. б) За способами виокремлення та подання в системі знання - емпіричні О., конституйовані засобами чуттєвого споглядання і зафіксовані в безпосередньому досвіді, напр., будь-який предмет або явище, подані в наочно-образній формі; теоретичні О., конституйовані засобами теоретичного мислення шляхом синтезу загальних властивостей безконечної множини різноманітних реальних предметів та явищ, напр., система, структура, біологічний вид, соціальна група, в) За способом побудови та рівнем віддаленості від реальної дійсності - конкретні О., що конституюються через велику, потенційно безконечну множину ознак та властивостей і в дійсності ідентифікуються як індивідуальні утворення, локалізовані в просторі та часі, напр., Дніпро, Всесвіт, укр. народ, цей художній твір, той електрон; абстрактні О., що сконструйовані засобами абстрактного мислення шляхом відділення загальних властивостей та відношень від їхньої уречевленості і перетворення їх у самостійну сутність. Ці О. не мають статусу реального існування, однак за певних строго визначених умов можуть інтерпретуватися за допомогою предметів і явищ реальної дійсності, напр., числа, алгебраїчні структури, багатомірний простір, фізична маса, цінність, ментальність. Між окремими типами О. не існує різкого розмежування, отже, одному й тому самому визначеному О. можуть бути притаманні окремі риси кількох типів - ідеалізованого, теоретичного, абстрактного, завдяки чому утворюються класи проміжних або суміжних О. Залежно від ступеня узагальнення, абстрагування та ідеалізації утворюються різні рівні 0., що характеризуються різним ступенем віддаленості від об'єктивної реальності аж до появи гіпотетичних О. типу гравітона, уявних О. типу тих, що фігурують у мисленому експерименті, віртуальних 0., що конституюються засобами інформаційно-комп'ютерного моделювання, операціональних О. типу псі-функції в квантовій механіці О. нтологічна ідентифікація таких О. є складною науковою і логіко-методологічною проблемою, що отримала назву проблеми фізичної реальності, або існування. Система О., з якою співвідноситься сучасне наукове знання, утворює багатоструктуровану в горизонтальному і вертикальному відношенні ієрархію, що визначається як онтологія науки. У функціональному відношенні всі типи О. мають однаковий статус, у пізнавальному— істотно різняться між собою. Існуючі версії теорії пізнання дають різні, інколи альтернативні витлумачення природи О., його місця в пізнавальному процесі. 3) О. у логіці - одне з основних понять логічної семантики, позначає будь-який предмет, на який спрямована думка, мислення, судження. О. логічного мислення можуть виступати речі та їхні властивості, відношення між речами та властивостями, властивості властивостей та властивості відношень безвідносно до їхньої матеріальної чи ментальної природи. Основною рисою їх є те, що вони стають значеннями логічних висловів, де кожному О. відповідає ім'я, а кожне власне чи загальне ім'я означає О. У формалізованих мовах система логічних О. та їхній характер, визначання умов їх існування задаються мовним каркасом. О. трактуються як значення логічних формул, пропозиційних, предметних та предикатних констант і змінних. Константи означають одиничні О., змінні - їхні сукупності, на яких реалізується певний предикат. У різних варіантах логічної семантики для характеристики онтологічного статусу О. та формування логічної онтології використовується ряд відомих підходів. Так, у теорії типів використовуються засоби логіки класів і реалізується ієрархічний принцип будови, в основі якої лежить сукупність індивідів, що приймається за нульовий рівень. Над ним нашаровуються класи індивідів, класи класів індивідів і т.д., тобто 0. 1-го, 2-го, 3-го,..., n-го рівнів В. ідповідно розробляються засоби розв'язання проблеми існування. В теорії О. Мейнонга виділення та фіксація О. досягається через вказування на переживання - відчуття, уяву, мислення, бажання. Семантика можливих світів вибудовує конфігурацію системи логічних О. на основі модальностей та поняття моделі.

ПРЕДИКАЦІЯ - співвіднесення змісту висловлювання з дійсністю; віднесення змісту предиката до змісту суб'єкта. Поняття П. зустрічається вже в античних логіках, де воно розглядалося не стільки в плані акту, скільки у вигляді десяти аристотелівських категорій (предикаментів), а згодом - у вигляді п'яти типів предикатів (предикабілій) у Порфирія. У середньовічній схоластичній логіці сформувалося поняття П. як акту пізнання (apprehensio complex, або complexio - з'єднання, складання), на відміну від поняття П. як акту простого вбачання речі (apprehensio simplex). "З'єднання" відображує те, що у зовнішньому світі виступає сполученим і не може бути репрезентоване простим поняттям. У цій логіці були детально розроблені такі види П., як деномінативна, пряма, сутнісна, формальна, природна та інтелектуальна. їх пізніше використає Пірс у своїй праці "Дослідження з логіки" (1883). Учення схоластів знайшли продовження й розвиток і в логічній системі Рассела. За Расселом, "речі" іменуються окремими словами, а "події" не можуть бути взагалі поіменовані, вони виражаються особливою мовною формою - пропозицією, тобто П. Якщо схоластами в цілому П. розумілася тільки як ствердження або заперечення ознаки (предиката) відносно субстанції (суб'єкта) за формулами "S є Р" і "S не є Р", то сучасна логіка виділяє три основних види предикації: 1) множина включається в множину (d); 2) елемент включається в множину (є); 3) встановлюється еквівалентність (s), тобто П. зводиться до значення зв'язки "бути". У вузькому розумінні тільки ці операції називаються в логіці П. У ширшому сенсі в поняття "П." включаються багатомісні предикатні відношення типу "бути родичем", "бути знайомим з...", "знаходитися південніше від...", "бути ближче до.., ніж до..."іт.п., які повніше розкривають функції П. у природних мовах.

АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ МНОЖИН - формулювання вчення про множини у вигляді аксіоматичної системи (див. аксіоматичний метод). Стимулом до побудови А. т.м. було відкриття антиномій у т. зв. наївній теорії множин. Ці суперечності зумовлені необмеженим застосуванням у наївній теорії множин принципу згортання (або абстракції), згідно з яким для кожної властивості існує множина, що складається з усіх предметів, які мають цю властивість, і тільки з них. Існують два основні підходи до побудови А.т.м. Логічною основою одного з них є числення предикатів першого порядку. Другий базується на системі числення предикатів з багатьма рівнями змінних. Побудови А.т.м. мають важливе гносеологічне значення. Нині нагромаджено великий методологічний досвід з аксіоматизації теорій, з методів доведення несуперечливості, повноти і незалежності системи аксіом, із засобів усунення парадоксів, що виникають всередині наукових теорій; вдалося уточнити постановку низки логіко-методологічних проблем, зокрема, проблеми існування абстрактних об'єктів.